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Change Log

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Introduction

This assignment is inspired by the Millennium Bridge in London,England.The   Millennium Bridge is a suspension bridge for pedestrians only.Many visitors walked across the bridge in the first day of its opening  in 2000.However,these visitors were treated to something unusual.They noticed that,when there were many people on the bridge,the bridge started to sway a lot.You can watch the wobbling of the bridge in this YouTube video.Since   the bridge did not sway much if there were few people on the bridge,the authority decided to limit the number of people on the bridge.Eventually,the bridge was closed a few days after its  opening.The  bridge  was  re-opened  after  additional  dampers  have  been  put  on  the bridge,see [1] for a report on how the bridge was stabilised.

Engineers and scientists wanted to understand why the Millennium Bridge started to sway when there were many people on the bridge.You probably have learnt about resonance in your Physics class and you are right to guess that the wobbling had something to do with resonance.However,the baffling part is how pedestrians could have caused resonance to occur.One  theory,which  was  published  in  [2],is  that  the  pedestrians  would  synchronise their walking with that the bridge's motion and their synchronised movement caused the bridge to sway more.There are also other theories,such as [3] ,which  disputes  the  theory proposed in [2] .

The  aim  of  this  assignment   is_to  give  you  an  opportunity  to  work  on  a  small-scale engineering problem in Python.The engineering system that you will be working on is the Millennium Bridge motion model from [2] .(Note  that  we  are   not  claiming  that   [2]is  the correct model.We are merely using the model in [2]in a computing exercise.)You will first develop a  Python function  to simulate the  motion  of the  bridge  due  to the  pedestrians movement.After that,you will use the simulation program to try out different modifications that can  reduce the  amount of swaying.On the whole,this  assignment  relates  computer science to two important aspects of engineering,which are simulation and design.

The key objective of this assignment is to for you to learn and use Python and numpy to solve problems.At the same time,we would like to give the problem an engineering context so that you can get some ideas how computing is used in engineering.Note that we used the word  inspired  earlier  because,for this  assignment,we took the  liberty  to simplify the model in [2] and the engineering design problem.

Learning objectives

This assignment is designed to give you practice in

·Applying programming to solve a simple engineering simulation and design problem

·Applying   a    number   of    numpy   features,which    include   array,slicing,elementwise

computation,built-in functions and others

·To organize programs into modules by using functions

·To  use  good  program  style  including  choice  of  variable  names,comments  and documentation

·To get a practice on software development,which includes incremental development, testing and debugging.

Intuition behind the bridge and pedestrian motion modelling

We will give you a basic mental picture that you can use to visualise the bridge and pedestrian motions.We will use Figure 1 below,which is taken from [2],for  our  description.

Figure 1.Taken from [2].

The left side of Figure 1 depicts the Millennium bridge.We are particularly interested in the lateral motion (i.e.side-to-side motion or sway)of the bridge.

For the modelling of the bridge,we can think about the bridge as a wheeled cart with mass M,see the top-right of Figure 1.This wheeled cart can only move in one dimension along the X-axis and this  motion  is  representative  of the sway of the  bridge.The sway of the bridge  is  restricted  by  both  stiffness  and  damping.A  material  is  stiff  if  a force  can only extend the material a little.Engineers like to think about stiffness as a spring where a stiff spring is hard to extend.If we go back to the picture of the cart in Figure 1,the quantity K represents the stiffness of the bridge.A damper is used by engineers to resist or to slow down motion.A common example of a damper in day-to-day life is a door closer  which slows down a door so it will not slam.In the picture of the cart in Figure 1,the quantity B denotes damping where a larger B means more resistance.

With correctly chosen stiffness and damping,the sway of a bridge will eventually diedown. If we simulate the lateral motion of bridge without pedestrians (which can be done with the simulation program which you will develop),we obtain the lateral displacement and lateral velocity in Figure 2 and you can see that their magnitudes become smaller over time.

Figure 2.Displacement and velocity of the bridge without pedestrians

Since we will only consider lateral motion in this assignment,we will drop the word lateral for brevity from now on.

You  can  see  from  Figure  2  that  the  motion  of  the  bridge  is  oscillatory.Engineers  and scientists like to think about an oscillatory motion as a point going round in a circle.You can see how the motion of a circle maps to a sine curve here.We know that we can specify the position of a point on a circle by using an angle,so we can use an angle to describe the oscillatory motion of the bridge.This angle is commonly referred to as the phase angle or simply phase (in the same sense of the word "phase"in the expression "moon phase").The bottom-centre picture in  Figure  1 depicts an angle  using the Greek alphabet ψ(Psi).This angle is used to describe the phase of the oscillatory motion of the bridge.

The walking of a pedestrian can also described as a cycle since walking is a repetition of: lifting of the left foot,landing of the left foot,liting of the right foot,landing of the right foot, and so on.For each pedestrian,we can use a phase to describe their motion,see the angle 日 ；(Theta)in the bottom-right picture in Figure  1.Note that each  pedestrian on the bridge has his/her own phase,the subscript i in曰；is used to indicate the pedestrian whose index is  i.

The theory in [2] is that the pedestrians synchronised their motion with that of the bridge.If we simulate the motion of the bridge with the pedestrians (which can be done with the simulation  program  which  you  will  develop),we  obtain  the  displacement  and  velocity  in Figure 3 and you can see that their magnitudes grow over time.If you simulate for longer, the magnitude of oscillation will grow larger until it reaches a steady value.

Figure 3.Displacement and velocity of the bridge with pedestrians

The  bottom  plot  in  Figure  3  shows  the  sine   of  the   pedestrians'phase.There  are  20 pedestrians and there are in fact 20 lines in different coloured lines in the plot.You can see the different coloured lines near time 0,but afterwards,these lines overlap and you can only see one coloured line.This means the pedestrians synchronised their walking.

Having seen that the displacement and velocity of the bridge will become large,a part of this assignment for you to see what modifications are needed to stabilise the bridge.

The above  mental  picture  should give you the  intuition you  need for this  assignment.In order to do simulation,we need a mathematical model which we will discuss next.

A mathematical model for the bridge and pedestrians

From the bridge and pedestrian motion that we have discussed above,you know that we are interested in a few quantities:

·The displacement of the bridge at time t,which is denoted by x(t) ·The velocity of the bridge at time t,which is denoted by v(t)

·The  phase  of  the  bridge  ψ(t)at  time  t,which  can  be  calculated  from  x(t),v(t),M  and K.(Reminder:M is mass and K is stiffness)

·Each  pedestrian's  phase.We  index  the  pedestrians  by  an  index  i  where  i  takes  on values from 0,...,N-1 where N is the number of pedestrian on the bridge.At time t, the phase of the pedestrian iis denoted by O;(t).

The  mathematical  model tells  us  how x(t),v(t),ψ(t)and  θ;(t)evolve over time.

The model has six model parameters.You have seen M,B,K and N before.There are two more:G and C.The table below summarises all the model parameters and their meaning. The Python programs will use the same notation for these model parameters.

We  have  placed the  mathematical  model  for the  bridge  and  pedestrians  on a separate page.We  believe  it  is  best for you  to get to  know the  different  parts of the assignment before  dwelling  into  the  mathematical  model.You  should  be  able  to  get  a  big-picture understanding  on  what  you  need  to  do  for  this  assignment  without  going  into  the mathematical  model  at  this  stage.(The  model  is  here   and  you  can  read  it  later.)The mathematical model is modified from [2] .If you would like to read [2],click on this which  will take you to the reference and there are links to download the paper.

Overview of tasks

We have divided the assignment intofour tasks where each task corresponds to the writing of a Python function.

·Task 1 is to write the function sim_bridge()which simulates the bridge's displacement and velocity,as well as the pedestrians'phase

·The aim of Task 2 is to use the displacement and velocity of the bridge to compute a design objective.This design objective is such that,if the bridge oscillates more,then the design objective is bigger.In this task,you will write the function comp_obj().

·Assuming that  it  is  possible  to  change the stiffness and damping of the  bridge,you will use different values of stiffness and damping to see whether you can reduce the oscillation.You can do this because you have developed a simulation program.The aim of Task 3 is to develop the function run_different_designs().

·Now that you have got the different designs,the aim of Task 4 is to choose the best design.For this task,your aim is to write the function find_best_design().

Task 1:Simulation

The aim of this task is to write a Python function sim_bridge()to simulate the bridge and pedestrian motion.In the yellow box below,you can see some code for sim_bridge)which you can use to start your work.

The  function  sim_bridge()takes   on  a   number  of   inputs.We  will   provide  you  with  the parameter values to  use so the  important thing for you  is to  understand what they are referring  to.The  meaning  of  M,B,K,N,G  and  C  have  already  been  explained  earlier  at here.The meaning of the other inputs are explained in the table below.

The function sim_bridge(returns three outputs,see the second last line of the code above. All the three outputs are numpy arrays and their meanings are explained in the table below.

Note that the template file has included code to create these three arrays with the specific shape   mentioned   above.Please   do   not   change  these   lines   of  code.In   addition,the template also includes lines of code which initialise these arrays for time 0.Again,please do not change these lines.

In order for you to complete sim_bridge(),what you need to do is to add the for-loop for simulation.

In the simulation,you will need to use arctangent (or inverse tangent)to compute the phase ψ(t)of the  bridge.We ask you to  use the  numpy function  arctan2()for this  purpose.More explanation is on this page .

(Testing   and   incremental   development) You  can test this function by using the test file test_sim_bridge.py.There  are  four  test  cases  in  this  test  file.We  have  developed  these  test  cases so that you can develop your sim_bridge()incrementally.We will be explaining these  test cases on a separate page because it requires some understanding of the mathematical model.Our  suggestion   is  that  you   keep   going  with  this   document  first  to   get  an understanding  ofthe  whole  assignment.After  that,you  can  read  the  mathematical  model and when you are ready to think about how to implement sim_bridge(),you can read how you can incrementally develop it on this  page,which  is also where the  mathematical model is.

Task 2:A function to calculate the design objective

The function sim_bridge()allows you to compute the displacement and velocity from the bridge parameters.In the next task (Task 3),you will explore different designs by varying the values of stiffness and damping.In order for us to choose a design later on,we need a way to measure how good a design is.This measure is known as the design objective.The aim of this task (Task 2)is to develop the function comp_obj()whose aim is to compute the design objective.

The def line of comp_obj(is:

def comp_obj(dis_array,vel_array,M,K):

The names of the inputs have been chosen to reflect their roles.The function is expected to return one number as the design objective.We will use an example to explain how you compute the design objective.

(Example) Note that both dis_array and vel_array are expected to be  1-dimensional  numpy arrays  of  the  same  shape.For  this  example,we  assume:

·The entries of dis_array are [d0,d1,d2]

·The entries of vel_array are [vO,v1,v2] We compute the following three numbers

square root of ((do²+(M/K)vo²      ) ,     square root of (d1²+(M/K)v12      ) ,        square root

of ( d2²+(M/K)v2²      )

where do²denotes the square of d0 etc.The design objective is the maximum of these

three numbers.In general,if there are H entries in each of dis_array and vel_array,you will

be computing H numbers and finding the maximum of them. As a numerical example,if

·dis_array   is   np.array([-1.1,2.1,3.1]) ·vel_array  is  np.array([-4.1,-2.1,1.3])

·K=1.1

·M=4.2

then you first compute

square rootof(-1.1)²+(M/K)(-4.1)²       ) ,    square  root  of  ((2.1)²+(M/K)(-2.1)²) square root of((3.1)²+(M/K)(1.3)²      )

Their numerical values are approximately 8.09,4.61 and  4.01.The maximum is 8.09 which is the design objective.Your comp_objO will need to return this number.

You can test this function by using test_comp_obj.py.

Note that it is possible to do all of the computation of this function with merely one line of code in numpy.The lectures in Week 8 will give you some inspiration.